Na podstawie: 'Using Benford's Law to predict data error and fraud. An examination of companies listed on the JSE securities exchange', Dr Adrian Saville, Chef investment officer, Cannon Asset Managers, October 2003

 

Metoda badania

Celem tego artykułu jest weryfikacja potencjalnej skuteczności Prawa Benforda w wykrywaniu błędów danych bądź zamierzonych nieprawidłowości finansowych w dziedzinie rachunkowości. Na wstępie należy zaznaczyć, iż badania nie muszą być ograniczone do poziomu pierwszych cyfr. Mark Nigrini oraz Linda Mittermaier[1] przedstawili przegląd zakresu możliwych testów. Badanie może być zastosowane w kontekście cyfr wyższego rzędu z taką samą łatwością, jak do cyfr stojących na pierwszej znaczącej pozycji. Badanie może być również stosowane do testowania wspólnych częstotliwości takich, jak: pierwsze dwie, pierwsze trzy, bądź ogólnie – pierwsze n - kombinacji cyfr.

Dostępne są również inne badania. Analityk może zastosować test np. na zaokrąglanie liczb. Wskazywałoby to na manipulację danymi – np. szacowanie. Wykrywanie wartości zdublowanych, bądź wykorzystujących kombinację cyfr innej liczby jest również przedmiotem badań analityków.

Tak więc wartości mogą być wykorzystane do badania zgodności na różne sposoby. Jednak najczęściej analiza dotyczy pierwszej, bądź pierwszych dwóch cyfr znaczących.

Poniższe badanie dotyczy danych zgodnych z Prawem Benforda na poziomie pierwszej cyfry znaczącej. Jest ono zgodne z ogólnymi kryteriami ustanowionymi przez Marka Nigriniego (2000). Po ustaleniu poziomu testu, proces odnosi się do tego, czy obserwowane cyfry różnią się znacząco od przewidywanych częstotliwości określonych poprzez Prawo Benforda. Wykorzystana może być prosta analiza regresji w celu oceny znaczenia wszelkich zaobserwowanych odchyleń od oczekiwanej częstotliwości. Do testów zgodności z Prawem Benforda linię regresji szacuje się za pomocą:

 

Y_i = β₀ + β₁X_i  + ε_i

 

gdzie Y_i jest wartością częstotliwości i-tej cyfry znaczącej pochodzącej z próbki danych. β₀ oraz β₁ są parametrami regresji, natomiast X_i jest stałą, a mianowicie wartością niezależnej zmiennej (częstotliwości i-tej znaczącej cyfry) wynikającej z Prawa Benforda. ε_i jest to błąd losowy z wartością oczekiwaną E{ε_i} = 0 oraz wariancją σ² = {ε_i} = σ². ε_ioraz ε_j są nieskorelowane tak, żeby kowariancja  σ_ij = 0 dla każdego i oraz j, gdzie i ≠ j oraz i = 1, 2, …, n. Idealna korelacja pomiędzy przykładowymi danymi oraz Prawem Benforda wykazałaby:

β₀ = 0 oraz β₁ = 1.

W tym celu należy zastosować test-t z hipotezą zerową: β₀ = 0 oraz β₁ = 1 która jest niezbędnym warunkiem, aby rozpatrywane dane były zgodne z Prawem Benforda. Biorąc pod uwagę metody badania konieczne staje się ustalenie techniki doboru próbki danych. Niestety Benford nie pozostawił żadnych komentarzy na ten temat. Z tego powodu poniższy przykład przyjmuje klasyczną postawę dobierania próbek. Próbki są losowe i odpowiednio duże by zapewnić odpowiedni poziom precyzji badań.

 

Zestaw danych

W celu zbadania potencjału Prawa Benforda w celu wykrycia błędów, bądź nadużyć finansowych w danych księgowych, zostały sporządzone dwa zbiory danych. Pierwszy zawiera zbiór firm powszechnie znanych bądź podejrzanych o dokonywanie oszustw księgowych, które miały miejsce od 1 lipca 1998 roku do 30 czerwca 2003 roku. Akcje tych firm zostały zawieszone bądź usunięte z giełd papierów wartościowych. Zestawienie tych 17 firm zostało przedstawione w tabeli 1.

Tabela 1 – Firmy wykazujące nieprawidłowości finansowe.

Nazwa firmy	Data zawieszenia bądź usunięcia
Amlac Limited	06-maj-02
Beige Holdings Limited	27-wrz-99
Essential Beverage Holdings Limited	01-sie-02
Internet Gaming Corporation Limited	04-lis-02
Leisurenet Limited	06-paź-00
Macmed Limited	02-lip-01
Noble Minerals Limited	01-lip-02
Oxbridge Online Limited	01-lip-02
REF Finance and Investment Corporation Limited	08-sty-02
Regal Treasury Bank Holdings Limited	27-cze-01
Shawcell Telecommunications Limited	18-sty-02
Taufin Holdings Limited	02-lip-03
Terrafin Limited	24-cze-02
Tigon Limited	18-sty-02
Tridelta Magnet Technology Holdings Limited	27-sie-01
Unifer Holdings Limited	19-cze-02
Whetstone Industrial Holdings Limited	19-kwi-01

Źródło: Alexander and Oldert (2002)

 

Drugi zbiór danych zawiera grupę firm sklasyfikowanych przez Ernst and Young (2002) jako wykazujące najwyższe standardy w raportowaniu spośród spółek notowanych na JSE (Johannesburg Stock Exchange). Zestawienia opracowywane przez Ernst and Young publikowane są corocznie. W poniższym badaniu wykorzystano rezultaty zestawienia z 2002 roku. Dokonano tego w celu zapewnienia jednolitości zbiorów (wyniki spółek były generowane w tych samych warunkach ekonomicznych i gospodarczych). Obranie danych z roku 2002 pozwala również odrzucić spółki, które wykazały nieprawidłowości w perspektywie czasu. W tym przykładzie firmy uznane jako wzorowe zostały zebrane
w tabeli 2.

 

Tabela 2 – Firmy wzorowo raportujące finanse.

Nazwa firmy	Nazwa firmy (c.d.)
ABSA Group Limited	Illovo Sugar Limited
African Bank Investments Limited	Kersaf Investments Limited
African Oxygen Limited	Liberty Group Limited
Allan Gray Property Trust	Nampak Limited
AngloGold Limited	Nedcor Limited
Aveng Limited	Pretoria Portland Cement Company Limited
Anglovaal Mining Limited	Sanlam Limited
Firstrand Limite	Sasol Limited
Gold Fields Limited

Źródło: Ernst and Young (2002)

 

Wyniki badania

Tabele 3 oraz 4 przedstawiają wyniki badań w odniesieniu do poszczególnych przedsiębiorstw. Tabela 3 zawiera dane „błędnych” spółek, odchylenie standardowe wyestymowanych wartości, β₀ oraz β_1, statystykę-t dotyczącą oszacowanych wartości.

Przyjęcie hipotezy zerowej zakładającej, że β₀ = 0 oraz β₁ = 1 na poziomie istotności 0,05 jest wskazane w tabeli 4 za pomocą gwiazdki. Jednak dla spełnienia wymogów badania konieczne jest, aby  oraz  znajdywały się w dwóch standardowych odchyleniach od szacowanej wartości β₀ oraz β₁. W związku z tym wyniki badań prowadzą do przyjęcia hipotezy zerowej, że β₀ = 0 w 13 z 17 przypadków. Jednakże jak wynika z szacunków β₁ we wszystkich 13 przypadkach wyniki testu odrzucają hipotezę zerową, że β₁ = 1 na poziomie istotności 0,05. W związku z tym wspólny wymóg, że β₀ = 0 oraz β₁ = 1 jest odrzucony w każdym z przypadków. Należy zauważyć, że w czterech szacunkach β₁ występuje ujemny znak. Wskazuje to na skrajne naruszenie Prawa Benforda. Reasumując, żaden z zestawów danych nie spełnia warunków Prawa Benforda.

Zatem wstępne ustalenia na podstawie powyższych próbek danych potwierdzają użyteczność wskaźnika jakim może być Prawo Benforda. Wszystkie 17 spółek, które generowały fałszywe dane, bądź były o to podejrzane w zadanym okresie nie przeszły testu zgodności z Rozkładem Benforda.

Tabela 3 – Wyniki testu dla grupy spółek wykazujących nieprawidłowości finansowe.

Nazwa firmy	Estym. β0	σ	t	Estym. β1	σ	t
Amlac	-0,11	0,03	-3,75	2,01*	0,22	9,11
Beige	0,17	0,06	3,1	-0,54	0,41	-1,32
Essential	0,13*	0,15	0,89	-0,19	1,1	-0,17
Igaming	0,08*	0,21	0,4	0,25	1,53	0,17
Leisurenet	-0,12	0,05	-2,35	2,07*	0,37	5,55
Macmed	0,09*	0,06	1,42	0,19	0,47	0,4
Noble	-0,28	0,1	-2,66	3,5*	0,77	4,54
Oxbridge	0,11*	0,11	0,96	0,01	0,84	0,02
REFCorp	0,08*	0,09	0,9	0,28	0,65	0,43
Regal	0,13*	0,09	1,46	-0,18	0,66	-0,27
Shawcell	0,16*	0,13	1,18	-0,41	0,98	-0,42
Taufin	0,03*	0,06	0,56	0,7	0,44	1,59
Terrafin	0,02*	0,14	0,17	0,79	1,02	0,78
Tigon	0,08*	0,13	0,59	0,31	0,97	0,32
Tridelta	0,1*	0,16	0,63	0,08	1,2	0,07
Unifer	0*	0,07	0,04	0,98	0,49	2
Whetstone	-0,02*	0,9	-0,23	1,18	0,66	2
Sample	0,04	0,1	0,19	0,65	0,75	1,46

Źródło: opracowanie własne.

 

W przypadku „błędnych” firm jest oczywiste, że niezgodność danych z Prawem Benforda może występować z powodu manipulacji pozycji na każdym poziomie rachunków zysków i strat.

Rezultaty testu w odniesieniu do przedsiębiorstw „wzorowych” zawarte w tabeli 4 oznacza, że hipoteza zerowa β₀ = 0 nie może być odrzucona na poziomie istotności 0,05 dla żadnej spółki. Biorąc pod uwagę szacunki β₁, współczynnik jest istotny w 16 z 17 przypadków. Oszacowanie β₁ dla Goldfields (β₁ = 0,64) nie będzie znacznie różniło się od 0 na poziomie 0,05 (choć jest istotne na poziomie 0,1). Co ważne, z 16 szacunków β₁ = 1 które okazały się istotnie różne od 0 jedynie trzy szacunki nie spełniają dalszego warunku, że β₁ = 1 znajduje się pomiędzy dwoma odchyleniami standardowymi o wartości oszacowanej β₁. W ten sposób 13 spośród17 firm przechodzi test, gdzie β₀ = 0 oraz β₁ = 1. Interesujące jest to, że szacunkowe wartości estymowane na podstawie zbiorczych danych wszystkich 17 „wzorowych” spółek pierwszych znaczących cyfr zgodne są z Prawem Benforda.

Tabela 4 – Wyniki testu dla spółek wyróżnionych za dokładność w raportowaniu.

Nazwa firmy	Estym. β0	σ	t	Estym. β1	σ	t
ABSA	-0,01*	0,03	-0,31	0,96*	0,21	4,5
ABIL	-0,01*	0,05	-0,22	1,09*	0,35	3,11
Afrox	-0,01*	0,03	-0,4	1,12*	0,25	4,42
Allan	-0,07*	0,04	-1,83	1,64*	0,29	5,71
Anglogold	0,04*	0,03	1,12	0,65*	0,25	2,57
Aveng	-0,03*	0,06	0,06	1,31*	0,45	2,93
Avmin	-0,01*	0,05	-0,16	1,07*	0,39	2,77
Firstrand	0,01*	0,05	0,32	0,87*	0,35	2,51
Goldfield	0,04*	0,04	0,91	0,64	0,32	1,96
Illovo	0,02*	0,04	0,4	0,85*	0,31	2,71
Kersaf	0,01*	0,05	0,12	0,94*	0,39	2,41
Liberty	-0,07*	0,04	-1,85	1,59*	0,26	6,09
Nampak	-0,05*	0,03	-1,44	1,43*	0,24	5,87
Nedcor	-0,04*	0,02	-2,13	1,36*	0,14	9,91
PPC	0,05*	0,03	1,64	0,55*	0,23	2,41
Sanlam	-0,04*	0,03	-1,22	1,35*	0,24	5,71
Sasol	0,03*	0,04	0,62	0,77*	0,31	2,48
Sample	-0,01	0,04	-0,26	0,65	0,75	1,46

Źródło: opracowanie własne.

 

Wyniki badań wskazują, że Prawo Benforda służyć może jako narzędzie ostrzegawcze dla użytkowników danych księgowych przed potencjalnym wystąpieniem błędu, bądź nadużyciem. W rozpatrywanym przypadku 88,20% przypadków zostało poprawnie zidentyfikowanych (30/34) oraz firmy wykazujące nadużycia zostały zidentyfikowane w 100%. Nasuwa się pytanie, czy metoda ta będzie równie wiarygodna w przypadku analizy danych w „czasie rzeczywistym”, tzn. jako narzędzie do predykcji. Nie ma powodu, by wątpić w jego skuteczność. Jednak jego prawdziwą wartość weryfikowałyby realne dane.

Niemniej jednak mimo, iż rozpatrywany przypadek przyniósł oczekiwane rezultaty, procedura testowa oraz zbiory danych mają pewne ograniczenia.

• Po pierwsze status „wzorowych” oraz „błędnych” spółek znany był przed przeprowadzeniem badania.
• Po drugie badając spółki z początku oraz końca zbiorowości (rankingu) nie mamy pewności jak zachowałyby się te pośrodku, nie wyróżniające się ani pozytywnie ani negatywnie.
• Po trzecie badania nie daje jednoznacznych rezultatów, czy wszystkie spółki, które nie przeszły testu rzeczywiście uwikłane są w nadużycia. A jeśli tak, to rozmiar czasu między błędem a wykryciem jest nieznany.
• Po czwarte, Prawo Benforda jest stosowane na szerszą skalę niż tylko do danych rachunkowych, jako podstawy wykrywania potencjalnych nadużyć. W rzeczywistości potencjał jego wykorzystania jest szerszy. Na przykład prawo zostało uznane jako istotne w badaniu efektywności projektu (Hamminga,
  1970 and Knuth, 1981, Scott and Fasli, 2001) badania autentyczności modeli matematycznych (Varian, 1972 in Scott and Fasli; Nigrini, 1996), oceny ważności wyników badań (Matthews, 1999: 26) oraz do badania efektywności przechowywania i zarządzania danymi (Nigrini, 1999).

Ponadto narzędzie to stosuje się jako instrument do wykrywania nadużyć w wierzytelnościach (takich, jak roszczenia z tytułu ubezpieczeń należności), płatnościach (płatności bankowe i wypłaty wynagrodzeń) oraz oszustw podatkowych (deklaracji dochodów i kosztów roszczeń).[2]

---

[1] Nigrini, M.J. & Mittermaier, L.J. (1997) “The use of Benford’s law as an aid in analytical procedures”, Auditing: A Journal of Practice and Theory, 16(Fall): 52-67.

[2] Adrian Saville “Using Benford’s Law to detect data error and fraud: an examination of companies listed on the Johannesburg Stock Exchange” Gordon Institute of Business Science, University of Pretori, Sajems  NS 9 (2006) No 3